Шрифт:
Жизнь Диофанта
ЗАДАЧА
История сохранила нам мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи. Мы приведем эту надпись.
РЕШЕНИЕ
Решив уравнение и найдя, что x = 84, узнаем следующие черты биографии Диофанта; он женился 21-го года, стал отцом на 38-м году, потерял сына на 80-м году и умер 84-х лет.
Лошадь и мул
ЗАДАЧА
Вот еще несложная старинная задача, легко переводимая с родного языка на язык алгебры.
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул. – Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинакова с моей».
Скажите же, мудрые математики, сколько мешков несла лошадь и сколько нес мул?»
РЕШЕНИЕ
Мы привели задачу к системе уравнений с двумя неизвестными:
Решив ее, находим: х = 5, y = 7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.
Четверо братьев
ЗАДАЧА
У четырех братьев 45 рублей. Если деньги первого увеличить на 2 рубля, деньги второго уменьшить на 2 рубля, деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех окажется поровну. Сколько было у каждого?
РЕШЕНИЕ
Расчленяем последнее уравнение на три отдельных:
откуда
Подставив эти значения в первое уравнение, получаем:
откуда х = 8. Далее находим: y = 12, z = 5, t = 20. Итак, у братьев было:
8 руб., 12 руб., 5 руб., 20 руб.
Птицы у реки
ЗАДАЧА
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной – 30 локтей, другой – 20 локтей; расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно.
Рис. 1
На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
РЕШЕНИЕ
Из схематического чертежа (рис. 2), пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем:
AB2 = 302 + x2, AC2 = 202 + (50 – x)2.
Рис. 2
Но АВ = АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния в одинаковое время. Поэтому
302 + x2 = 202 + (50 – x)2.
Раскрыв скобки и сделав упрощения, получаем уравнение первой степени
100x = 2000,
откуда х = 20.
Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.
Прогулка
ЗАДАЧА
– Зайдите ко мне завтра днем, – сказал старый доктор своему знакомому.
– Благодарю вас. Я выйду в три часа. Может быть, и вы надумаете прогуляться, так выходите в то же время, встретимся на полпути.
– Вы забываете, что я старик, шагаю в час всего только 3 км, а вы, молодой человек, проходите при самом медленном шаге 4 км в час. Не грешно бы дать мне небольшую льготу.
– Справедливо. Так как я прохожу больше вас на 1 км в час, то, чтобы уравнять нас, дам вам этот километр, т. е. выйду на четверть часа раньше. Достаточно?
– Очень любезно с вашей стороны, – поспешил согласиться старик.